Kelas 9
SEMESTER 1

STATISTIKA

A. Populasi dan Sampel

1. Pengertian Statistika
Statistika adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari cara-cara mengumpulkan data, mengolah data, menyajikan data, dan pengambilan keputusan.

2. Populasi
Populasi adalah himpunan semua objek (amatan) yang akan menjadi sasaran suatu penelitian.

3. Sampel
Sampel adalah himpunan objek-objek (amatan) yang menjadi bagian dari suatu populasi. Suatu sampel harus representative, artinya objek-objek (amatan) yang diambil bisa mewakili keseluruhan sifat amatan dalam populasi,

B. Penyajian Data Statistika

1. Mengumpulkan Data

2Penyajian Data dalam Bentuk Tabel

3. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram

C .   Pemusatan Data

1.     Mean

Mean adalah nilai rata - rata.

        2.    Median

Median adalah nilai tengah dari sekumpulan data yang sudah diurutkan.

Dalam mencari median ada dua kemungkinan :

A.   Jika banyaknya data ganjil, maka median dari kumpulan data tersebut adalah data yang terletak di tengah-tengah.

B.    Jika bayaknya data genap, maka median dari kumpulan data tersebut adalah jumlah data yang di tengah dibagi dua.

3.    Modus

Modus adalah data yang sering muncul.

4.    Kuartil

Kuartil berarti pengelompokan empat – empat, membagi data yang telah diurutkan menjadi 4 bagian yang sama.

Untuk menyatakan kuartil digunakan huruf K.

K1 = kuartil bawah

K2 = kuartil tengah / median

K3 = kuartil atas.

Contoh Soal :

1)    Perhatikan tabel nilai IPA siswa berikut :

Nilai	50    60    70    80    90
Frekuensi	5       9      3     7       2

Banyak siswa yang mendapat nilai lebih dari nilai rata-rata adalah ….

Jawab :Nilai rata-rata = 66,92
Nilai lebih dari 66,92 = nilai 4, 5, dan 6

= 3 + 7 + 2 = 12 orang

(sumber : buku lks kelas 9)

PELUANG

A.   Ruang Sampel dan Titik Sampel

1. Tindakan Acak (Random)
Tindakan acak (random) adalah suatu kegiatan yang dilakukan seseorang atau banyak orang untuk mendapatkan hasil melalui cara-cara mengundi, mengocok, atau memilih sesuatu yang hasilnya baru bisa kita ketahui setelah kegiatan (peristiwa) tersebut terjadi.

2. Ruang Sampel dan Titik Sampel

3. Cara menentukan/mencari Ruang Sampel
Ruang sampel dapat disusun/ditentukan dengan beberapa cara, antara lain:
a. Dengan Membuat Tabel
b. Dengan Membuat Diagram Pohon

B. Peluang Suatu Kejadian

1. Frekuensi Nisbi atau Frekuensi Relatif
    Rumus Frekuensi Relatif :

Frekuensi Relatif = K/n

2. Nilai Kemungkinan atau Peluang Suatu Kejadian

C. Kisaran Nilai Peluang dan Frekuensi Harapan

1. Kisaran Nilai dan Peluang

P(A) = 1/N

a.      Jika banyaknya suatu kejadian A adalah n(A) dan banyaknya anggota ruang sampelnya n(S), maka peluang terjadinya A adalah

b.      Jika peluang kejadian A adalah P(A), maka nilai P(A) berkisar 0 (kemustahilan) sampai dengan 1 (kepastian) atau 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Dengan demikian berlaku aturan sebagai berikut :

P(A) + P(bukan A) = 1

2. Frekuensi Harapan
Frekuensi Harapan (Fh) munculnya suatu hasil dari sejumlah percobaan adalah hasil kali antara peluang munculnya hasil tersebut dengan banyaknya percobaan. Secara singkat dapat ditulis dalam bentuk rumus sebagai berikut :

Fh(A) = P(A) × banyak percobaan

Contoh Soal :

1)    Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama, peluang muncul kedua mata dadu bilangan prima adalah ...

Jawab :Bilangan prima pada dadu = 2, 3, dan 5

Kedua Mata bilangan prima = (2,2), (2,3), (2,5) (3,2), (3,3), (3,5), (5,2) , (5,3) , (5,5) atau 9 kemungkinan
P(kedua mata dadu prima) 

2)    Berapa banyak urutan yang berbeda, apabila 5 orang duduk dalam satu baris?
  Jawab : Bangku pertama yang bisa duduk 5 orang
        Bangku kedua yang bisa duduk 4 orang
        Bangku ketiga yang bisa duduk 3 orang
        Bangku keempat yang bisa duduk 2 orang
        Bangku kelima yang bisa duduk 1 orang
       maka banyak kemungkinan = 5 × 4 × 3 ×2 × 1
                                                = 120 

SEMESTER 2
Pangkat Tak Sebenarnya

1.     Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif

Masih ingat bentuk berikut :
32 = 3 x 3
23 = 2 x 2 x 2
56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.
Sifat 1
an x an = am + n
24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
           = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
           = 27
           = 24+3
Sifat 2
am : an = am - n, m > n
55 : 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
           = 5 x 5
           = 52
           = 55 - 3
Sifat 3
(am)n = am x n
(34)2 = 34 x 34
       = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
       = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
       = 38
       = 34 x 2

Sifat 4
(a x b)m = am x bm
(4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
           = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
           = 43 x 23
Sifat 5
(a : b)m = am : bm
(6 : 3) 4 = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
            = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
            = 64 : 34

2.     Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 20 = 1 dan 2-n = 1/2n , secara umum dapat ditulis Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat. 

3.     Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

1.      Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, -1/2, 0, 3, 3/4, dan 5/9.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuka/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya
√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

2.      Bentuk Akar

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0 

3.      Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar n√amdapat ditulis am/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk am/n disebut bentuk pangkat pecahan.

4.     Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.
2. Perkalian dan Pembagian
3. Perpangkatan
4. Operasi Campur

5.     Merasionalkan Penyebut

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar
Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

(sumber : http://hidupsmart27.blogspot.com)

Contoh Soal :

1.      Diketahui panjang dan lebar sebuah persegipanjang berturut-turut adalah 9 cm dan 5cm. Tentukan panjang diagonal persegipanjang tersebut!

Jawab:
pd = √(p² + l²)pd = √(9² + 5²)

pd = √(81 + 25)

pd = √106 cm

2.      Panjang diagonal sebuah persegi 20 cm. Tentukan panjang sisi persegi tersebut.

Jawab:pd = 20 cm

pd = √(s² + s²)

pd = √2s²

pd = s√2

20 cm = s√2

s =  20 cm/√2

s = 10√2 cm

(sumber : lks kelas 9)

Pola Bilangan , Barisan, Deret

1. Pola Bilangan

A. Pengertian Pola Bilangan yaitu bilangan susunan angka-angka yang mempunya pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan angka-angka naik mendatar, menurun, diagonal (miring).

2.  Barisan dan Deret Aritmatika
A. Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika adalah barisan dimana suku berikutnya diperoleh dengan cara menambahkan suatu bilangan tetap pada suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda (b).
 Bentuk umum :: a , a+b , a+2b , a+3b , ... , a+(n-1)b
beda (b) = U2-U1 = U3-U2 = .... = Un-U(n-1)
Un = a+(n-1)b
dengan :
a = suku pertama
b = beda ( selisih )
n = banyaknya suku
Un = suku ke-n yaitu suku terakhir
B. Barisan Geometri
Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan dimana suku-suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap pada suku sebelumnya. Bilangan tetap itu rasio (r)

Bentuk umum :: a , ar, ar^2 , ... , ar^(n-1)

r = U2/U1 = U3/U2 = ... = Un/U(n-1)

Un = ar^(n-1) 

dengan :

a = U1 = suku pertama
r = rasio

n = banyak suku

untuk r

untuk r>1 disebut geometri naik (barisan divergen)

C. Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah jumlah semua suku pada barisan aritmatika.
Bentuk umum :: a + (a+b) + (a+2b) + ... + a+(n-1)b
Jumlah n suku pertama deret aritmatika Sn , Sn = n/2 (a+Un) atau Sn = n/2 (2a+(n-1)b)
D. Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah semua suku pada barisan geometri,
Bentuk umum :: a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1).
Jumlah n suku pertama deret geo (Sn)
Sn = a[(r^n - 1)/(r-1)] , r>1
Sn = a[(1 - r^n)/(1-r)] , r

Jika nilai rasio (r) adalah 0 < r < 1 maka jumlah n suku sampai tak hingga adalah :

S~ =a/(1-r) dengan :

a= suku pertama

r = rasio

Contoh Soal : 
1.Rumus suku ke-n barisan bilangan 6, 10, 14, 18, … adalah ….

Jawab : Beda tiap suku pada barisan bilangan tersebut adalah 5.
Suku pertama (8) =  (4 × 1) + 2
Suku kedua     (13)            (4 × 2) + 2

Suku ketiga     (18)            (4 × 3) + 2
Suku keempat (23)          (4 × 4) + 2
Jadi, suku ke-n adalah    (4 × n) + 2 atau 4n +2

2. Tentukan suku ke-25 dari barisan deret aritmatika : 1, 3, 5, 7, ... ?

     Jawab :

     Dik :

     deret : 1. 3, 5, 7, ...

     a = 1

     b = 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2

     Un = a + (n-1) b

          = 1 + (25-1)2

          = 1 +   (24).2

          = 1 + 48

          = 49

(sumber : buku lks kelas 9 semester 2)